判斷向量空間
84 台大
sjLin
March 23, 2022
題目
解:
向量空間V 必包含零向量。
∃v ∈ V, v + (−v) = 0
純量加法分配性: ∀α, β ∈ F, v ∈ V, (α + β)v = αv + βv
取c
1
= 1, c
2
= −1, (a
1
, a
2
) = (b
1
, b
2
)
c
1
(a
1
, a
2
) + c
2
(a
1
, a
2
)
= 1 · (a
1
, a
2
) + (−1) · (a
1
, a
2
)
由條件判斷兩個純量不為0, 視為純量為1
= (a
1
, a
2
) + (a
1
, a
2
)
= (a
1
+ a
1
, a
2
+ a
2
) = 2(a
1
, a
2
)
但純量加法分配性就不成立了
⇒ 1 · (a
1
, a
2
) + (−1) · (b
1
, b
2
)
= (1 + (−1))(a
1
, a
2
) = 0(a
1
, a
2
)
純量為0, 由判斷條件答案為
0(a
1
, a
2
) = 0
與2(a
1
, a
2
)產生矛盾。
因此，所以V 不為Vector Space.
1
