對稱差的集合是否等於獨立子空間的加總
80 台大資工
sjLin
March 24, 2022
題目
解:
V 為n維的向量空間，現在有k個子空間。
題目問是否所有子空間的對稱差等於所有子空間集合的加總，且子空間共同向量只有零向量。這樣表示每個子空間都不
互相干涉，視為獨立子空間。
答案為否，因為並沒有說明k是否小於等於n。
k可能大於n，子空間個數大於維度必定有子空間可以被其他空間組合出來，舉個例子:n = 2, k = 3
V ∈ R
2
, W
1
, W
2
, and W
3
為V 的子空間
W
1
= span{(1, 0)}, W
2
= span{(0, 1)}, and W
3
= span{(1, 1)}
且符合 W
1
T
W
2
= {0}, W
2
T
W
3
= {0}, W
1
T
W
3
= {0}
但是W
1
+ W
2
= W
3
不是獨立的子空間，這和獨立子空間加總等於集合的對稱差產生矛盾。
1
