判斷有理數
▶
有理數: 可以分成兩整數形式的分數。
所以有2, -3, 0, , − ,
+
√
+
√
·
−
√
−
√
=
−
√
+
√
−
−
=
▶
實數為不含虛數之值, 以上皆為實數。
有理數 無理數
a − c = (d − b)
√
e, 假設(d − b)不為零,
則
√
e =
a−c
d−b
為有理數矛盾。
假設(d − b)為零, 即b = d, a − c = ·
√
e ⇒ a = c
策略: 找一反例, 有反例則答案為否。
(a, b, c, d) = ( , , +
√
,
√
)
x +
√
x + y −
√
y = −
√
等式整理⇒ ( x + y − ) + (x − y + )
√
=
⇒ (x − y + ) = , 否則
√
=
( x +y − )
(x−y+ )
為有理數矛盾。
(
x + y =
x − y = −
⇒ (x, y) = ( , )
有理數 直接證法
▶
(
a + b = p
a − b = q
⇒ p, q ∈ Q
計算(a, b), 形式要是p, q組成
計算b
a + b = (p − q) ⇒ a = (p − q) − b代入第二式
p − q − b − b = q ⇒ p − q = b ⇒ b =
p− q
計算a, 由第二式變換
a =
q+b
代剛得出來的b
a = ·
p+ q
=
p+ q
▶
∵ p ∈ Q, q ∈ Q, q ∈ Q ⇒ p + q ∈ Q ⇒
p+ q
∈ Q
∴ a ∈ Q
∵ p ∈ Q, q ∈ Q ⇒ p − q ∈ Q ⇒
p− q
∈ Q
∴ b ∈ Q
▶
a + b , a − b ∈ Q
Pf. ( a + b) + ( a − b) ∈ Q
∵ a, b ∈ Q
∴ a + b ∈ Q